Epipolar a personal journal

Cholesky 分解(一)

当 $A$ 是对称正定阵,$L$ 是下三角矩阵,并且 $A = LL^T$,则称 $LL^T$ 是 $A$ 的 Cholesky 分解。此时,如果同时要求 $L$ 的对角元大于零,则这个分解是唯一的。下面我们从 2x2 分块矩阵推导一种 Cholesky 分解算法:

将 $A$ 沿最左和最上一列分块:

若按同样方式分块 $L$ ,即:

将 $LL^T = A$ 计算出来,便有:

于是可知,$l_{11} = \sqrt{a_{11}}$,$L_{21} = \frac{1}{l_{11}}A_{21}$ 。并且 $L_{22}$ 是矩阵 $A_{22}-L_{21}L_{21}^T$ 的 Cholesky 分解。

将这一过程从左上角不断向右下角进行,便可得到 $A$ 的 Cholesky 分解。