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Cholesky 分解(四)

上一回里我们看到了一个比较直观的结论:选择尽可能稀疏的行和列优先消去,得到的分解会比较稀疏。现在我们将问题换一种方式表达,并在这种表达下再次分析我们的结论。

我们知道对称的矩阵可以用一个(带边权)的无向图表示,特定的行列对应着特定的顶点。在我们交换行列时,保持与定点的对应关系跟随行列变化的话,那么交换得到的矩阵和原始的矩阵对应着完全相同的图。

这样,我们在矩阵里选择特定的行列并消去的过程可以变成在矩阵对应的无向图中选择一个特定顶点(并消去)的过程。

还是以上文图中的 A 为例,这个矩阵对应了如下的无向图:

在矩阵中选取特定的行列进行消去的过程,在无向图表示下则是“将对应的节点删除,并将其尚未消去的邻居节点两两连接,形成完全子图(clique)”。

在上图中,节点 2 和 4 很明显是独立的,这就意味着即使将它们消去,也不会影响剩余的图的结构。类似地,节点 1 和 6 只有一个邻居,消去它们同样不会引入新的边,也就是不会在分解中产生新的非零元素。然而节点 3 和 5 则不同。我们同样以节点 5 为例,为了消去它,需要在节点 1 和 3 之间引入新的边。在前文里我们看到了,如果 Pivot 在了第 5 行第 5 列,则消去之后会多出两个新的非零元。

在这种图论的表示下,寻找尽可能稀疏化 Cholesky 分解的置换矩阵变为了寻找尽可能不引入新的边的顶点消去顺序。在这一思路的引导下,最直观的一个策略便是优先消去度数尽可能低的节点。因此采用了这类策略的置换方法便得名 Minimum Degree Reordering 方法。