Epipolar a personal journal

最小二乘问题(七)

在各种最小二乘问题中,还有一类比较重要的问题。我们以 Wahba’s Problem 举个例子:

已知三维空间中的点云 $P = { p_1, p_2, \dots, p_n }$ 和 $Q = { q_1, q_2, \dots, q_n }$ ,求旋转矩阵 $R \in \mathbb{SO}(3)$ 将 $P$ 旋转后与 $Q$ 吻合,即求解

注意到哪里不同了么?对的,我们的解空间有了约束。对于这种带约束的最小二乘问题,是无法直接套用我们前面的方法的。

可能这里还有人在关心 Wahba’s Problem 怎么解,因为它有着明确且重要的几何意义,可以被用于各种类型的姿态配准。幸运的是,对于这个特殊的问题,我们可以用 SVD 分解直接求出它的解,无需经过迭代方法。这个算法叫做 Kabsch Algorithm 。

那么,其它带有类似约束的问题该怎么办呢?

首先,我们要说说“类似”指的是什么。我们前面问题里的约束是一个旋转群,它可以等价的转换成这样的两个约束:

注意到,这是两个等式约束,它定义了在 $\mathbb{R}^{3\times3}$ 空间里的一个曲面。我们的解正是被约束在了这个曲面上。

数学上我们管这个曲面叫做流形(Manifold)。它除了有形状,在每个点处还有微分性质。我们接下来要关心的正是这类约束在微分流形上最小二乘问题。不过这里我们先开个头,正文我们下回继续。