Epipolar a personal journal

卡牌游戏

就算我内心再信仰 Bayesian

一旦玩起了卡牌游戏

立刻就变成了坚定不移的 Frequentist

“别骗人了这游戏根本就没有 SSR !”

Level Set Methods

上图是法线流,下图是曲率流。 加了曲率项,步长要保守好多好多啊……

如何治手贱

为什么禁止乘客拉动飞机的紧急逃生门把手?

五十万元一次,欢迎体验! (请联系空乘人员先付款后使用)

服气

“二元一次方程,一个就无穷多解了,人家能两个放一块儿解,你说牛逼不牛逼!”

多项式的伴随矩阵

很久之前学到的知识,但是今天回忆起来发现已经忘记了,这里记录一下。

一个多项式 $P(x) = x^n+c_{n-1}x^{n-1}+c_{n-2}x^{n-2}+\cdots+c_1x+c_0$ 的伴随矩阵(Companion Matrix)定义为:

可以证明,$P(x)$ 的根是 $M_x$ 的特征值,下面简单描述思路。

对于任意的多项式 $F(x)$ ,考虑多项式求余 $F(x)\mod P(x)\equiv R(x)$ 。当 $x_0$ 是 $P(x)$ 的根时,便有 $F(x_0)=R(x_0)$ 。

现在考虑新的多项式 $xF(x)$ ,同样关于 $P(x)$ 求余,记 $xF(x)\mod P(x)\equiv S(x)$ 。由于 $R(x)$ 和 $S(x)$ 不超过 $n-1$ 次,用两个 $n$ 维向量 $r, s\in\mathbb{R}^n$ 分别表示它们的系数。

观察 $R(x)$ 和 $S(x)$ 的系数向量的关系,将 $r \mapsto s$ 的关系记为 $M$ ,容易发现 $M$ 是一个线性映射,它的矩阵表达恰好是 $M_x$ 。

那么,当 $x_0$ 是 $P(x)$ 的根时,$F(x_0) = R(x_0)$ ,$x_0F(x_0) = x_0R(x_0) = S(x_0)$ 。

上面得到的等式关系对于任意 $P(x)$ 的根都是成立的,这意味着 $x_0R(x)$ 和 $S(x)$ 对应项的系数相等,即 $x_0r = s = M_x r$ 。

由此可知 $x_0$ 是 $M_x$ 的特征值。