Jinyu Li a personal journal
多项式的伴随矩阵
04 Dec 2016 - 5 minute read很久之前学到的知识，但是今天回忆起来发现已经忘记了，这里记录一下。
一个多项式 $P(x) = x^n+c_{n-1}x^{n-1}+c_{n-2}x^{n-2}+\cdots+c_1x+c_0$ 的伴随矩阵（Companion Matrix）定义为：
\[M_x = \begin{pmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0 & -c_0 \\\ 1 & 0 & \cdots & 0 & -c_1 \\\ 0 & 1 & \cdots & 0 & -c_2 \\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\\ 0 & 0 & \cdots & 1 & -c_{n-1} \end{pmatrix}.\]可以证明，$P(x)$ 的根是 $M_x$ 的特征值，下面简单描述思路。
对于任意的多项式 $F(x)$ ，考虑多项式求余 $F(x)\mod P(x)\equiv R(x)$ 。当 $x_0$ 是 $P(x)$ 的根时，便有 $F(x_0)=R(x_0)$ 。
现在考虑新的多项式 $xF(x)$ ，同样关于 $P(x)$ 求余，记 $xF(x)\mod P(x)\equiv S(x)$ 。由于 $R(x)$ 和 $S(x)$ 不超过 $n-1$ 次，用两个 $n$ 维向量 $r, s\in\mathbb{R}^n$ 分别表示它们的系数。
观察 $R(x)$ 和 $S(x)$ 的系数向量的关系，将 $r \mapsto s$ 的关系记为 $M$ ，容易发现 $M$ 是一个线性映射，它的矩阵表达恰好是 $M_x$ 。
那么，当 $x_0$ 是 $P(x)$ 的根时，$F(x_0) = R(x_0)$ ，$x_0F(x_0) = x_0R(x_0) = S(x_0)$ 。
上面得到的等式关系对于任意 $P(x)$ 的根都是成立的，这意味着 $x_0R(x)$ 和 $S(x)$ 对应项的系数相等，即 $x_0r = s = M_x r$ 。
由此可知 $x_0$ 是 $M_x$ 的特征值。
连续白噪音和布朗噪音的离散模拟
03 Dec 2016 - 5 minute read为了生成模拟实验数据，需要用到白噪音和布朗噪音。连续白噪音 $u(t)$ 通常定义为满足如下条件的随机信号：
\[\begin{aligned} E[u(t)] &= 0 \\\ E[u(t)u(t+\tau)] &= \sigma_u^2\delta(\tau). \end{aligned}\]即任意时刻的信号的期望为 0 ，方差为 $\sigma_u^2\delta(\tau)$ ，且不同时刻信号互相独立。$\delta$ 是 Dirac 函数，即单位冲击响应。
设 $u_i = u(t_0+i\Delta t) = u(t_i)$ 为离散化后的信号，那么 $u_i$ 对应于 $\Delta t$ 时间窗内 $u(t)$ 的均值，有
\[\begin{aligned} u_i &= \frac{1}{\Delta t}\int_0^{\Delta t} u(t_{i-1}+\tau) d\tau \\\ E[u_i^2] &= \frac{1}{\Delta t^2}\int_0^{\Delta t} \int_0^{\Delta t} \sigma_u^2 \delta(\tau-\upsilon) d\tau d\upsilon = \frac{\sigma_u^2}{\Delta t}. \end{aligned}\]因此，在用离散序列模拟时，应使用均值为 0 ，方差为 $\sigma_u^2/\Delta t$ 的高斯随机数产生采样。
布朗噪音 $v(t)$ 可以定义为白噪音的积分：
\[\begin{aligned} v(0) &= v_0 \\\ v’(t) &= u(t). \end{aligned}\]以类似方式离散化后可知 $\Delta v_i = v_i - v_{i-1} = \int_0^{\Delta t}u(t_{i-1}+\tau)d\tau$ 。于是 $E[ \Delta v_i^2 ] = \sigma_u^2\Delta t$ 。
所以离散化后的差分方程为 $v_i = v_{i-1} + \Delta v_i$ ，其中 $ \Delta v_i \sim N(0, \sigma_u^2 \Delta t)$ 。
不想好好做游戏，那就不要做了
02 Dec 2016 - less than 1 minute read如今的游戏，BUG一大堆就拿出来卖钱。
这样也就算了，内容不完整，等于买了一半儿。事后发个DLC，也就是下一半儿，再卖一笔……
我凭什么要给你们这种beta产品掏钱？